Чему вы научитесь
Топология начинается с простого наблюдения: чтобы говорить о непрерывности и пределах, не нужны ни ε, ни δ, ни даже расстояния. Нужно только знать, какие множества «открыты».
В этом курсе каждое определение появляется после того, как вы уже увидели явление на картинке или в интерактиве. Доказательства в два слоя: короткая схема и полное.
Курс пишется: открытые уроки уже можно читать, остальные появятся постепенно.
Темы курса
- непрерывность и пределы без ε и δ, метрики, определение топологии, хаусдорфовость
- база, замыкание и граница, подпространства, гомеоморфизм, аксиомы счётности
- произведения, компактность, фактор-пространства: сфера, тор, лента Мёбиуса, бутылка Клейна
- связность и линейная связность, классификация букв
- полнота, теорема Бэра, сжимающие отображения, нормы, теорема Арцела–Асколи
- эйлерова характеристика, петли, теорема Брауэра
О курсе
Топология начинается с простого наблюдения: чтобы говорить о непрерывности и пределах, не нужны ни ε, ни δ, ни даже расстояния. Нужно только знать, какие множества «открыты».
В этом курсе каждое определение появляется после того, как вы уже увидели явление на картинке или в интерактиве. Доказательства в два слоя: короткая схема и полное.
Курс пишется: открытые уроки уже можно читать, остальные появятся постепенно.
Для кого этот курс
- Понять, что на самом деле стояло за определениями из матана, и почему они именно такие.
- Функциональный анализ: полные и нормированные пространства, теорема Бэра, компактность в пространствах функций.
- Дифференциальные уравнения: существование решений через сжимающие отображения и теорему Пеано.
- Анализ данных: метрики и ультраметрики в кластеризации, топологический анализ данных.
Начальные требования
- Матанализ первого семестра: пределы, непрерывность, ε-δ. Достаточно уровня «проходил и помню, что это такое».
- Базовый язык множеств: объединение, пересечение, образ и прообраз.
- Понятие мощности множества, счётные и континуальные множества
- Привычка читать доказательства.
30