В книге есть ошибки, выбрал наугад теорему, а она неверная. страница 39: Any finite metric system consisting of N elements (points) and in which ratio between maximum and minimum distances between points does not exceed √2 can be embedded into (N-1)-dimensional Euclidian space. Пример: 6 точек разбиты на две тройки, внутри каждой тройки все расстояния √2, остальные расстояния 1. Будьте крайне скептичны при изучении.
Да, действительно - это ошибка. Обоснование Принципа Евклидова соответствия следует из того, что при проведении процедуры (квази)метризации система может быть с любой точностью приближена к правильному симплексу. А как известно, правильный симплекс, образуемый (N+1)-ой вершиной, может быть вмещен в N-мерное Евклидово пространство. Когда мы будем описывать понятие фундаментального соседства, то мы увидим, что после проведения процедуры (квази)метризации, структура соседства системы остается неизменной. А значит, такую (квази)метризованную систему, у которой отношение между максимальным и минимальным расстояниями между точками не превышает корень из 2 , мы можем рассматривать как систему, сохраняющую основные свойства Евклидовых пространств: - Проекция любого отрезка не превосходит длины его самого; - Все симплексы в такой системе имеют неотрицательный объем, что позволяет ввести естественные понятия объема и меры. Описанных двух свойств (квази)метризованных систем будет вполне достаточно для реализации приближенных алгоритмов.